MATERI HIMPUNAN - HIMPUNAN BAGIAN, DIAGRAM VENN DAN OPERASI HIMPUNAN

Himpunan Bagian

1.      Pengertian Himpunan Bagian

Himpunan A merupakan himpunan bagian dari himpunan B jika setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dan dinotasikan A⊂B. Akan tetapi, jika ada anggota himpunan A yang tidak menjadi anggota himpunan B maka himpunan A bukan himpunan bagian B.

Contoh:

S={binatang yang ada di kebun binatang}

A={binatang unggas}

B={burung berkicau}

K={burung dikebun binatang yang makan besi}

Terlihat:

a.       Setiap anggota himpunan B menjadi anggota A. Jadi B himpunan bagian dari A, ditulis B⊂A

b.      Setiap anggota himpunan K menjadi anggota A, Jadi K himpunan bagian dari A, ditulis K⊂A

2.      Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan

Misalkan, P= {1,2,3,4}

A= himpunan bilangan genap yang menjadi anggota P

B= himpunan bilangan prima yang menjadi anggota P

C=  himpunan bilangan yang kuranag dari 2 yang menjadi anggota P

D= himpunan bilangan yang kurang dari 5 yang menjadi anggota P

E= himpunan bilangan yang lebih dari 4 yang menjadi anggota P

Anggota himpunan A,B,C,D, dan E dibentuk dari himpunan P sehingga

a.       A ⊂ P

b.      B ⊂ P

c.       C ⊂ P

d.      D ⊂ P

e.       E ⊂ P

Jika hubungan dari himpunan dinyatakan dengan mendaftarkan anggotanya, maka diperolehhasil sebagai berikut.

a.       {2,4} ⊂ {1,2,3,4}

b.      {2,3} ⊂ {1,2,3,4}

c.       {3} ⊂ {1,2,3,4}

d.      {1,2,3,4} ⊂ {1,2,3,4}

e.       { } ⊂ 1,2,3,4

3.      Banyak Himpunan Bagian dari Suatu Himpunan

Jika banyaknya anggota suatu himpunan adalah n banyaknya himpunan bagian adalah 2ⁿ.

Contoh:

Diketahui himpunan B = {a,b,c,d}

a.       Sebutkan himpunan bagian dari B!

b.      Berapa banyak himpunan bagiannya?

Penyelesaian:

a.       Himpuna bagian dari B = { }, {a}, {b}, {c}, {d}, {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}, {a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}, {a,b,c,d}.

b.      Dari jawaban bagian a, maka

n(B) = 4

Banyak himpunan bagiannya = 2ⁿ = 2⁴ = 16

 Diagram Venn dan Operasi Himpunan 

Diketahui himpunan A = {bilangan genap kurang dari 10} dan B = {lima bilangan prima yang pertama}. Himpunan semesta kedua himpunan adalah S = {bilangan asli kurang dari 15}. Penyelesaian: 

S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14} 

A = {2,4,6,8}  

B = {2,3,5,7,11}

Antara himpunan A dan B terdapat anggota persekutuan, yaitu 2. Himpunan A dan B saling berpotongan.

Hubungan aantara himpunan lebih jelas disajikan dengan gambar, yang dikenal dengan Diagram Venn. Inilah diagram Venn untuk hubungan diatas.

Aturan dalam menggambar diagram Venn:

1.   Himpunan semesta S digambarkan dengan persegi panjang dan diberi symbol S di sudut kiri atas.

2.   Setiap anggota himpunan S digambarkan dengan noktah (.) diikuti objeknya didalam persegi panjang tersebut, missal .1, .2, .3, dan seterusnya.

3.   Himpunan Bagian dari S missal A, digambarkan dengan kurva tertutup yang memuat anggota-anggota A.

Beberapa Operasi Himpunan:

1.      Irisan (Intersection)

Diketahui Himpunan A dan B. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan semua anggota persekutuan himpunan A dan himpunan B. Irisan himpunan A dan B dilambangkan dengan A ∩ B (dibaca: A irisan B).

Notasi pembentuk himpunannya: A ∩ B = {x|x ∈ A dan x ∈ B}

2.      Gabungan (Union)

Gabungan berarti penyatuan objek-objek yang sedang dibcarakan. Jika dua buah himpunan digabungkan, akan menghasilkan suatu himpunan baru yang anggotanya terdiri atas anggota kedua himpunan tersebut. Gabungan himpunan A dan B dilambangkan dengan A ∪ B (dibaca A gabung B). Notasi pementuk himpunannya: A ∪ B = {x|x ∈ A atau x ∈ B}

Perbedaan antara kata dan dengan atau sebagai berikut.

a.       x ∈ A dan x ∈ B, kedua syarat ini harus dipenuhi dalam satu kondisi. Dengan kata lain, A dan B bersama-sama memiliki x.

b.      x ∈ A atau x ∈ B mempunyai tiga kemungkinan, yaitu:

1)      x ∈ A saja;

2)      x ∈ B saja; atau

3)      x ∈ A dan x ∈ B.

3.      Kurang (Difference)

Himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota himpunan A, tetapi bukan anggota himpunan B disebut himpunan A kurang B dan dilambangkan dengan A – B atau A \ B. A kurang B dapat dinyatakan menggunakan notasi  himpunan sebagai berikut.

A – B = {x|x ∈ A dan x ∉ B}

4.      Komplemen

Komplemen himpuna A adalah himpunan yang terdiri atas semua anggota himpunan semesta, tetapi bukan anggota himpunan A dan ditulis A^C atau A’.

Komplemen A dapat dinyatakan dengan notasi himpunan sebagai berikut.

A^C = {x|x ∈ S dan x ∉ A}