MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT)

II. OPERASI HITUNG PADA BILANGAN BULAT

A. Penjumlahan pada Bilangan Bulat

a. Penjumlahan dengan alat bantu

          Dalam menghitung hasil penjumlahan dua bilangan bulat, dapat digunakan dengan menggunakan garis bilangan. Bilangan yang dijumlahkan digambarkan dengan anak panah dengan arah sesuai dengan bilangan tersebut. Apabila bilangan positif, anak panah menunjuk ke arah kanan. Sebaliknya, apabila bilangan negatif, anak panah menunjuk ke arah kiri.

    Contoh:

Hitunglah hasil penjumlahan berikut dengan menggunakan garis bilangan!

1). 6 + (–8) = …

    Penyelesaian:

Untuk menghitung 6 + (–8), langkah-langkahnya sebagai berikut.

     (a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 6 satuan ke kanan sampai pada angka 6.

     (b) Gambarlah anak panah tadi dari angka 6 sejauh 8 satuan ke kiri.

     (c) Hasilnya, 6 + (–8) = –2.

2). (–3) + (–4) = …

    Penyelesaian:

 Untuk menghitung (–3) + (–4), langkah-langkahnya sebagai berikut.

     (a) Gambarlah anak panah dari 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

     (b) Gambarlah anak panah tadi dari angka –3 sejauh 4 satuan ke kiri.

     (c) Hasilnya, (–3) + (–4) = –7.

b. Penjumlahan tanpa alat bantu

          Penjumlahan pada bilangan yang bernilai kecil dapat dilakukan dengan bantuan garis bilangan. Namun, untuk bilangan-bilangan yang bernilai besar, hal itu tidak dapat dilakukan. Oleh karena itu, kita harus dapat menjumlahkan bilangan bulat tanpa alat bantu.

1) Kedua bilangan bertanda sama

Jika kedua bilangan bertanda sama (keduanya bilangan positif atau keduanya bilangan negatif), jumlahkan kedua bilangan tersebut. Hasilnya berilah tanda sama dengan tanda kedua bilangan.

     Contoh:

     a) 125 + 234 = 359

     b) –58 + (–72) = –(58 + 72) = –130

2) Kedua bilangan berlawanan tanda

Jika kedua bilangan berlawanan tanda (bilangan positif dan bilangan negatif), kurangi bilangan yang bernilai lebih besar dengan bilangan yang bernilai lebih kecil tanpa memerhatikan tanda. Hasilnya, berilah tanda sesuai bilangan yang bernilai lebih besar.

     Contoh:

     a) 75 + (–90) = –(90 – 75) = –15

     b) (–63) + 125 = 125 – 63 = 62

B. Sifat-Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

a. Sifat tertutup

Pada penjumlahan bilangan bulat, selalu menghasilkan bilangan bulat juga. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga bilangan bulat.

     Contoh:

     1).  –16 + 25 = 9

          –16 dan 25 merupakan bilangan bulat.

          9 juga merupakan bilangan bulat.

     2). 24 + (–8) = 16

          24 dan –8 merupakan bilangan bulat.

          16 juga merupakan bilangan bulat.

b. Sifat komutatif

          Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Penjumlahan dua bilangan bulat selalu diperoleh hasil yang sama walaupun kedua bilangan tersebut dipertukarkan tempatnya. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut:

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, selalu berlaku a + b = b + a.

     Contoh:

     1). 6 + 5 = 5 + 6 = 11

     2). (–7) + 4 = 4 + (–7) = –3

     3). 8 + (–12) = (–12) + 8 = –4

     4). (–9) + (–11) = (–11) + (–9) = –20

c. Mempunyai unsur identitas

          Bilangan 0 (nol) merupakan unsur identitas pada penjumlahan. Artinya, untuk sebarang bilangan bulat apabila ditambah 0 (nol), hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk sebarang bilangan bulat a, selalu berlaku a + 0 = 0 + a = a.

d. Sifat asosiatif

          Sifat asosiatif disebut juga sifat pengelompokan. Sifat ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a, b, dan c, berlaku (a + b) + c = a + (b + c).

     Contoh:

1). (4 + (–5)) + 6 = –1 + 6 = 5

      4 + ((–5) + 6) = 4 + 1 = 5

     Jadi, (4 + (–5)) + 6 = 4 + ((–5) + 6).

2). (–3 + (–9)) + 10 = –12 + 10 = –2

      –3 + ((–9) + 10) = –3 + 1 = –2

      Jadi, (–3 + (–9)) + 10 = –3 + ((–9) + 10).

e. Mempunyai invers

          Invers suatu bilangan artinya lawan dari bilangan tersebut. Suatu bilangan dikatakan mempunyai invers jumlah, apabila hasil penjumlahan bilangan tersebut dengan inversnya (lawannya) merupakan unsur identitas (0 (nol)). Lawan dari a adalah –a, sedangkan lawan dari –a adalah a.

          Dengan kata lain, untuk setiap bilangan bulat selain nol pasti mempunyai lawan, sedemikian sehingga berlaku: a + (–a) = (–a) + a = 0.

C. Pengurangan pada Bilangan Bulat

          Seperti pada penjumlahan bilangan bulat, untuk menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dapat digunakan bantuan garis bilangan. Namun sebelumnya coba kalian ingat kembali materi di tingkat sekolah dasar, bahwa operasi pengurangan merupakan penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang.

          Perhatikan uraian berikut.

a. Pengurangan dinyatakan sebagai penjumlahan dengan lawan bilangan pengurang

          Bandingkan hasil penjumlahan dan pengurangan berikut.

          1). 4 – 3 = …

          2). 4 + (–3) = …

          3). –5 – (–2) = …

          4). –5 + 2 = …

Dari perbandingan di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut.

4 – 3 = 4 + (–3) = 1

–5 – (–2) = –5 + 2 = –3

          Pada pengurangan bilangan bulat, mengurangi dengan suatu bilangan sama artinya dengan menambah dengan lawan pengurangnya. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.

Untuk setiap bilangan bulat a dan b, maka berlaku: a – b = a + (–b).

          Contoh:

          1). 7 – 9 = 7 + (–9) = –2

          2). –8 – 6 = –8 + (–6) = –14

          3). 15 – (–5) = 15 + 5 = 20

          4). –12 – (–6) = –12 + 6 = –6

          Pada contoh di atas dapat kalian lihat bahwa hasil dari pengurangan dua bilangan bulat, juga menghasilkan bilangan bulat. Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa pada operasi pengurangan bilangan bulat berlaku sifat tertutup.

b. Pengurangan dengan alat bantu

          Berdasarkan penjelasan di atas, pelajarilah cara menghitung hasil pengurangan dua bilangan bulat dengan bantuan garis bilangan berikut ini.

     Contoh:

1). 4 – 7 = …

          Untuk menghitung 4 – 7, langkah-langkahnya sebagai berikut.

     (a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 4 satuan ke kanan sampai pada angka 4.

     (b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka 4 sejauh 7 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

     (c) Hasilnya, 4 – 7 = –3.

2). –3 – (–5) = …

Penyelesaian:

Langkah-langkah untuk menghitung –3 – (–5) sebagai berikut.

     (a) Gambarlah anak panah dari angka 0 sejauh 3 satuan ke kiri sampai pada angka –3.

     (b) Gambarlah anak panah tersebut dari angka –3 sejauh 5 satuan ke kanan sampai pada angka 2.

     (c) Hasilnya, –3 – (–5) = 2.

Lihat Juga:
MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (PENGERTIAN BILANGAN BULAT)
MATERI SMP KELAS VII - BILANGAN BULAT (OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT)

DAFTAR PUSTAKA

Nuharini, Dewi. 2008. Matematika 1: Konsep dan Aplikasinya: untuk Kelas VII SMP/MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional