MATERI SMP KELAS VIII - FAKTORISASI ALJABAR I

I. Operasi Hitung Bentuk Aljabar

1. Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar

          Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai

berikut.

a. Sifat Komutatif

    a + b = b + a, dengan a dan b bilangan riil

b. Sifat Asosiatif

    (a + b) + c = a + (b +c), dengan a, b, dan c bilangan riil

c. Sifat Distributif

    a (b + c) = ab + ac, dengan a, b, dan c bilangan riil

Contoh Soal 1:

Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. 6mn + 3mn

b. 16x + 3 + 3x + 4

c. –x – y + x – 3

d. 2p – 3p² + 2q – 5q² + 3p

e. 6m + 3(m² – n²) – 2m² + 3n²

Jawab:

a. 6mn + 3mn = 9mn

b. 16x + 3 + 3x + 4 = 16x + 3x + 3 + 4

                                = 19x + 7

c. –x – y + x – 3 = –x + x – y – 3

                          = –y – 3

d. 2p – 3p² + 2q – 5q² + 3p = 2p + 3p – 3p² + 2q – 5q²

                                            = 5p – 3p² + 2q – 5q²

                                            = –3p² + 5p – 5q² + 2q

e. 6m + 3(m² – n²) – 2m² + 3n² = 6m + 3m² – 3n² – 2m² + 3n²

                                                  = 6m + 3m² – 2m² – 3n² + 3n²

                                                  = m² + 6m

Contoh Soal 2:

Tentukan hasil dari:

a. penjumlahan 10x² + 6xy – 12 dan –4x² – 2xy + 10,

b. pengurangan 8p² + 10p + 15 dari 4p² – 10p – 5.

Jawab:

a. 10x² + 6xy – 12 + (–4x² – 2xy + 10) = 10x² – 4x² + 6xy – 2xy – 12 + 10

                                                              = 6x² + 4xy – 2

b. (4p² – 10p – 5) – (8p² + 10p + 15) = 4p² – 8p² – 10p –10p – 5 – 15

                                                            = –4p² – 20p – 20

2. Perkalian Bentuk Aljabar

          Perhatikan kembali sifat distributif pada bentuk aljabar. Sifat distributive merupakan konsep dasar perkalian pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

a. Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua

    Contoh Soal:

    Gunakan hukum distributif untuk menyelesaikan perkalian berikut.

    a. 2(x + 3) = 2x + 6

    b. –5(9 – y) = –45 + 5y

    c. 3x(y + 5) = 3xy + 15x

    d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq

b. Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua

    Contoh Soal 1:

a. (x + 5)(x + 3) = (x + 5)x + (x + 5)3

                          = x² + 5x + 3x + 15

                          = x² + 8x + 15

b. (x – 4)(x + 1) = (x – 4)x + (x – 4)1

                          = x² – 4x + x – 4

                          = x² – 3x – 4

c. (2x + 4)(3x + 1) = (2x + 4)3x + (2x + 4)1

                              = 6x² + 12x + 2x + 4

                              = 6x² + 14x + 4

d. (–3x + 2)(x – 5) = (–3x + 2)x + (–3x + 2)(–5)

                              = –3x² + 2x + 15x – 10

                              = –3x²+ 17x – 10

    Contoh Soal 2:

    Diketahui sebuah persegipanjang memiliki panjang (5x + 3) cm dan lebar (6x– 2) cm. Tentukan luas persegipanjang tersebut.

    Jawab:

    Diketahui : p = (5x + 3) cm dan l = (6x – 2) cm

    Ditanyakan : luas persegipanjang

    Luas = p × l

             = (5x + 3)(6x – 2)

             = (5x + 3)6x + (5x + 3)(–2)

             = 30 x² + 18x – 10x – 6

             = 30 x² + 8x – 6

    Jadi, luas persegipanjang tersebut adalah (30x² + 8x – 6) cm²

3. Pembagian Bentuk Aljabar

Tentukan hasil pembagian berikut.

4. Perpangkatan Bentuk Aljabar

          Bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut.

     aⁿ = a x a x a x …x a (sebanyak n faktor)

          Untuk a bilangan riil dan n bilangan asli. Definisi bilangan berpangkat berlaku juga pada bentuk aljabar. Untuk lebih jelasnya, pelajari uraian berikut.

     a. a⁵ = a × a × a × a × a

     b. (2a)³ = 2a × 2a × 2a = (2 × 2 × 2) × (a × a × a) = 8a³

     c. (–3p)⁴ = (–3p) × (–3p) × (–3p) × (–3p)

                    = ((–3) × (–3) × (–3) × (–3)) × (p × p × p × p)

                    = 81p4

     d. (4x2y)2 = (4x2y) × (4x2y) = (4 × 4) × (x2 × x2) × (y × y) = 16x4y2

          Sekarang, bagaimana dengan bentuk (a + b)2? Bentuk (a + b)2 merupakan bentuk lain dari (a + b) (a + b). Jadi, dengan menggunakan sifat distributif, bentuk (a + b)2 dapat ditulis:

(a + b)² = (a + b) (a + b)

              = (a + b)a + (a + b)b

             = a² + ab + ab + b²

             = a² + 2ab + b²

          Dengan cara yang sama, bentuk (a – b)² juga dapat ditulis sebagai:

(a – b) ² = (a – b) (a – b)

             = (a – b)a + (a – b)(–b)

             = a² – ab – ab + b²

             = a² – 2ab + b²

Contoh Soal:

Tentukan hasil kuadrat dari bentuk aljabar berikut.

a. (x + 1)² = (x) ² + 2(x)(1) + (1) ² = x² + 2x + 1

b. (2p – 3q) ² = (2p) ² – 2(2p)(3q) + (3q) ² = 4p² – 12pq + 9q²

          Selanjutnya, akan diuraikan bentuk (a + b)³, sebagai berikut.

(a + b)³ = (a + b) (a + b)²

              = (a + b) (a² + 2ab + b²)                        (a+b)² = a² + 2ab + b²

              = a(a² + 2ab + b²) + b (a² + 2 ab + b²)  (menggunakan cara skema)

              = a³ + 2a2b + a²b + ab² +2ab² + b³    (suku yang sejenis dikelompokkan)

              = a³ + 3a²b + 3ab² + b³                        (operasikan suku-suku yang sejenis)

          Untuk memudahkan penguraian perpangkatan bentuk-bentuk aljabar tersebut, kamu bisa menggunakan pola segitiga Pascal . Sekarang, perhatikan pola segitiga Pascal berikut.

 

           Hubungan antara segitiga Pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut 

 

          Dengan menggunakan pola segitiga Pascal dan aturan perpangkatan variabel, bentuk-bentuk perpangkatan suku dua (a + b)3, (a + b)4, (a + b)5, dan seterusnya dapat diuraikan sebagai berikut.

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

(a + b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴

(a + b)⁵ = a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

dan seterusnya.

          Perpangkatan bentuk aljabar (a – b)n dengan n bilangan asli juga mengikuti pola segitiga Pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (+) ke (–), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut.

(a – b)² = a² – 2ab + b²

(a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³

(a – b)⁴ = a⁴  – 4a³b + 6a²b² – 4ab³ + b⁴

(a – b)⁵ = a⁵ – 5a⁴ b + 10a³b2 – 10a²b³ + 5ab⁴  – b⁵

     Contoh Soal:

     Uraikan perpangkatan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. (x + 5)² = x² + 2(x)(5) + 5²

                 = x² + 10x + 25

b. (2x + 3)³ = (2x) ³ + 3(2x) ² (3) + 3(2x)(3) ² + 3³

                   = 8x³ + 36x² + 54x + 27

c. (x – 2)4 = x4 – 4 (x) ³(2) + 6(x) ² (2) ² – 4(x)(2) ³ + 24

                 = x4 – 8x³ + 24x²– 32x + 16

d. (3x – 4) ³ = (3x) ³ – 3(3x) ² (4) + 3(3x)(4) ² – (4) ³

                    = 27x³ – 108x² + 144x – 64

DAFTAR PUSTAKA

Agus, Nuniek Avianti. 2007. Mudah Belajar Matematika 2: untuk Kelas VIII SMP/MTs. Jakarta: Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional